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カルロヴィッツの定理を作ろう

1 :カルロヴィッツ:04/01/30 03:24
数学全分野(統計学を含む)において「カルロヴィッツの定理」と命名されるような定理をカキコして下さい。
できれば定理の証明や「逆」の成立可否まで示して頂けると幸いですが、
「予想」もOKです(その場合、論破されるリスクがあることはご了承下さい)

マジスレを求めますので、「ゲット」「意味不明な絵」「広告」「変なサイトへの直リン」の類は 無用にて。


2 :132人目の素数さん:04/01/30 03:26
「カルロヴィッツ」とはどういう意味ですか?

3 :カルロヴィッツ:04/01/30 03:30
西洋の数学者っぽく聞こえる名前(←主観)であることのほか、特に意味なし。

4 :132人目の素数さん:04/01/30 04:19
4ゲット

5 ::04/01/30 08:14
(定理名)カルロヴィッツの特性関数の定理(平均値版)
(内容)
・確率変数Xに平均値μが存在するとき、その特性関数は
 φ(t)=1+iμt+o(t)  (t→0)
 但しi=√−1で、o(t)は実変数tが無限小なるときtよりも高位の無限小を表す。
 これはXが連続的・離散的いずれの場合も妥当する。

証明は追って。

6 ::04/01/30 09:20
まずXが連続的な場合、その確率密度関数をf(x)とする。
φ(x)−(1+iμt)=∫[∞〜−∞]e^itx・f(x)dx−(∫[∞〜−∞]f(x)dx+it[∞〜−∞]xf(x)dx)
           =∫[∞〜−∞](e^itx−1−itx)f(x)dx
ここでg(x)−g(0)=∫[x〜0]g’(u)duをg(x)=e^itxに適用して
   e^itx−1=it∫[x〜0]e^itu・du
∴e^itx−1−itx=it(∫[x〜0]e^itu・du−x)
            =it∫[x〜0](e^(itu)−1)du=it・Rとおけば
|R|≦∫[|x|〜0]|e^±(itu)−1 |≦2|x|
記法:∫[上端〜下端]   ここまでよろしいですか?

7 :132人目の素数さん:04/01/30 09:35
>>6
よろしいです

8 :132人目の素数さん:04/01/30 13:53
芸術系から見たら殆どなぞなぞですな。

かっこいいです。

9 ::04/01/30 17:09
続きです。
題意よりμ=E[X]=∫[∞〜−∞]xf(x)dxは存在するから
∫[∞〜−∞]|x|f(x)dx<∞ よって任意のε>0に対して十分大きなδ>0をとれば
∫[〜|x|>δ]|x|f(x)dx<ε
このδに対して|x|≦δ 、 |t|<2ε/δ^2ならば
|R|≦∫[|x|〜0]|e^(±itu)−1|du≦∫[|x|〜0]|tu|du≦|t|・|x|^2/2≦|t|δ^2/2<ε
よって|t|<2ε/δ^2とすれば
|φ(t)−(1+iμt)|≦∫[∞〜−∞]|e^itx−1−itx|f(x)dx=|t|∫[∞〜−∞]|R|f(x)dx≦3ε|t|
よってt→0の時
1/t{φ(t)−(1+iμt)}→0
∴φ(t)=1+iμt+o(t)   以上よろしいでしょうか?

10 :☆キキ+キ゚Д゚ ◆qpmo.OOqAo :04/01/30 17:12
☆キキ+キ゚Д゚♪のHPがBGMを変更!

流れる音楽が変わればまた新たな一面がHPにて見れるかも?

みんなで人間を極めた天才哲学を見に僕のHPにこよう!HPは↓

http://www.geocities.co.jp/HeartLand/8862/

音源はMP3なので流れるまでに時間がかかるかも?
僕が作曲したのをある人に楽器の音を変えてもらいました。


11 ::04/01/30 20:05
次にXが離散的な場合、その確率分布を{f(ak)}とすると
φ(t)−(1+iμt)=Σ[〜k]{e^(itak)−1−itak}f(ak)
ここに題意よりμ=E[X]が存在するから
Σ[〜k]|ak|f(ak)<∞
従って任意のε>0に対して適当な番号(自然数)Nを選べば
Σ[〜k≧N+1]|ak|f(ak)<ε
記法:Σ[上端〜下端]    ここまで宜しいですか?

12 :アポロニウスの円:04/02/01 20:03
(定理名)カルロヴィッツの中心角と交角の定理
(内容)直線l上に点A・E・Vが、直線m上に点C・Eがこの順で並んでいる。
    円O(中心点O)が点A・Cでそれぞれ直線l・mと接している。
    このとき∠AOC=∠VEC
        AE=AO×tan(∠VEC/2) 
(証明)
 △EAOと△ECOにおいて EO(斜辺)共通・AO=CO(半径)・∠EAO=∠ECO=90°(接線と半径の関係)
 よって△EAO≡△ECOより ∠EOA=∠EOC
 △EAOにおいて∠EAO+∠EOA=∠VEO(三角形の2内角の和=残りの一角の外角)
 ここで∠VEO=∠VEC+∠CEO ∠EAO=∠EOA+∠AEO(∠EAO=90°より) ∠AEO=∠CEO
 よって2∠EOA=∠AOC=∠VEC
 また、AE=AO×tan∠EOA 上より 与式=AO×tan(∠VEC/2)

13 :アポロニウスの円:04/02/01 20:08
(定理の予想)
 上は円の場合でしたが、一般の曲線f(x,y)=0において、傾きの異なる接線を2本引ければ、その法線を円の場合の半径に相当するとみなして、接線のなす角と接線の長さについて、円の場合のアナロジーが成り立つ?

14 :132人目の素数さん:04/02/07 04:03
28

15 :132人目の素数さん:04/03/06 17:49
679

16 :132人目の素数さん:04/03/19 21:51
119

17 :132人目の素数さん:04/03/27 22:41
27

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