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長い証明をのせよう!

1 : :04/02/23 23:16
例えば特異点解消定理など
だれもが知ってるのに証明を
読んだことない定理の証明をのせてくれ

2 :132人目の素数さん:04/02/23 23:26
驚くべき証明を私は見つけたが,これを記すには1スレでは狭すぎる

3 :132人目の素数さん:04/02/23 23:28
三体問題が求積法で解けないことの証明をupして欲しいにょ〜ん

4 :132人目の素数さん:04/02/24 00:01
ジョルダンの定理の証明をホモロジー無しで頑張った奴を頼むわ

5 :132人目の素数さん:04/02/24 00:04
有限単純群の分類定理きぼんぬ。

6 :132人目の素数さん:04/02/24 00:06
>>5
おまえが書け! クレクレ野郎!
( ゚д゚)、ペッペッペッ

7 :132人目の素数さん:04/02/24 00:23
フェルマーの大定理お願い。
多分一気に300スレくらいまで届きそうな勢いになるだろう・・・

8 :132人目の素数さん:04/02/24 01:00
フェルマーが解いたわけでもないのに
なんでフェルマーの大定理って言うの?

9 :132人目の素数さん:04/02/24 10:05
フェルマーが解いたって言ったから

10 :132人目の素数さん:04/02/24 11:31
やっぱ、一番きになるのはフェルマーの大定理だな。

神さま!!!!!!お願い!!!!!!!

11 :132人目の素数さん:04/02/24 11:53
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Wiles.html

12 :132人目の素数さん:04/02/24 13:00
フェルマーの大定理の論狸的かつ簡単な証明
1.フェルマーの大定理が成り立つと仮定する。
2.フェルマーの大定理が成り立たないとすると仮定に反するので不合理である。
3.よって、フェルマーの大定理は成り立つ。証明終わり。


13 :132人目の素数さん:04/02/24 14:56
成り立つと仮定して矛盾を導いたのだから、
成り立たないことが証明されたのだ!

14 :132人目の素数さん:04/02/24 14:59
フェルマーの大定理の論狸的かつ簡単な証明
1.フェルマーの大定理が成り立たないと仮定する。
2.フェルマーの大定理が成り立つとすると仮定に反するので不合理である。
3.よって、フェルマーの大定理は成り立つ。証明終わり。



15 :132人目の素数さん:04/02/24 19:52
「成り立たないと仮定する」
背理法で証明するんですね。
「成り立つとすると仮定に反するので不合理である」
っておい!「すると」っていうことはこれも仮定じゃないか!
仮定が別の仮定と矛盾したってなんら不合理でもない。

だからこの証明はまちがっている

16 :KingMathematician ◆5lHaaEvFNc :04/02/25 00:15
Jordanの曲線定理。

17 :132人目の素数さん:04/02/25 00:29
>4でガイシュツ
このすれも元Qマソが荒らしていくのか。

18 :132人目の素数さん:04/02/25 00:58
http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/

19 :132人目の素数さん:04/02/25 01:58
既に正しいと分かっていることの証明をするのって、
一種の詰将棋みたいなもので、頭の体操にはなるけど、
本当の勝負の役には必ずしも立たないような気がする。
つまり、お膳立てが全部出来ていて、材料も取捨撰択が
あらかじめなされている、そういう状況での証明という
ものは、いったいどうやって手がけていいのかすらわからない
という段階での証明の試みとは全然違うと思われる。

20 :132人目の素数さん:04/02/25 03:10
1+1=2の証明がものすごかった覚えがある。

21 :132人目の素数さん:04/02/25 12:16
>>15
でもそのやり方はM_SHIRAISHIが「四色問題の簡単な証明」でやったやつで、
この論狸的証明の方法論により20世紀までの数学を完全に覆すものなのだそうです。

22 :132人目の素数さん:04/02/25 12:51
>>21
マジすか。M.SHIRAISHIってかなりやばいっすね…

23 :132人目の素数さん:04/02/25 14:19
>>20
+の定義からやると面倒だね
足し算が定義できれば証明自体はたいしたことないけど

24 :132人目の素数さん:04/02/25 16:44
>>22
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1077271218/465-468


25 :132人目の素数さん:04/02/27 10:40
>>20 >>23
加法を
a+0 = a
a+b' = (a+b)'
で定義して
1+1 = 1+0' = (1+0)' = 1' = 2
じゃダメなんすか?

26 :23:04/02/27 11:15
>>25
そうだけど、自然数の定義と+のwell-definednessが面倒

27 :132人目の素数さん:04/02/27 11:19
>>26
自然数の定義はペアノの公理系以外になんかやることあるの?
+ の well-definedness ってどんなこと?

28 :23:04/02/27 12:16
>>27
ペアノの公理を満たす集合を公理から構成しようとすると大変。

well-definednessって知らない?
a+0 = a
a+b' = (a+b)'
で任意の自然数m,nについて自然数m+nが一意的に定まっていることを
証明しようとすると面倒なんだけど。

29 :25, 27:04/02/27 13:18
>>28
> ペアノの公理を満たす集合を公理から構成しようとすると大変。
あ、それはそうっすね。

> 一意的
m+n は n=0 のときは a+0 = a より、m+n = m となって一意的に定まる。
ペアノの公理の n'=m' ⇒ n=m から
(n が 0 でなければ) n に対し n = l' となる l が一意的に定まるので、
m+n = m+l' = (m+l)' は m+l が一意的に定まれば一意的に定まる。
よって帰納法により…ってのじゃまずいんですか?

30 :23:04/02/27 13:59
>>29
考え方としてはそうだと思うけど、
それだと写像として+が存在しているということが見えないような気がする。

形式的には
「a+0 = a , a+b' = (a+b)' で+を定義する」
と言えばこの等式を満たす写像+の存在を主張することになるから、
+という写像を構成してみせないといけないんでは?

31 :25, 27:04/02/27 14:49
>>30
写像 + を構成って、N×N の任意の元に
N の一つの元が対応するようにすればいいんでしょ?
一意性は>>29でいいけど、存在が明確ではないってこと?
公理の n∈N ⇒ n'∈N と a+b' = (a+b)' という定義から、
b = 0'''...' と表せれば存在するってのはいいよね?
a+b' = (a+b)' って定義自体が具体的な計算法を与えてるわけで。
あとは n∈N なら n = 0'''...' と表せることを言えばよくって、
n = 0 のときは自明で、n が表せるなら n' も表せるのも自明、
以上から帰納法の公理によって全ての n∈N は上のように表せる。

っていう議論じゃダメ? これでいいならほとんど自明な気もするんだけど。

32 :23:04/02/27 15:35
>>31
一意性はよさそう。
存在なんだけど、b=0'''...'の意味が明確にできるかどうかが引っかかる。
'のかわりにsをつかうと、おそらく
∃n b=s^n(0)
といったところだろうけど、s^nはどうやって定義されるのかと考えると
こっちが非自明になる。
きっと本質的にどちらでも同じ議論が必要になるから
面倒な部分を他に押し付けたことになりそうだけど・・・

33 :25, 27:04/02/27 15:47
> 存在なんだけど、b=0'''...'の意味が明確にできるかどうかが引っかかる。

実は書いてておれも引っ掛かった(笑
まあ、n が定義されてないのに s^n は定義できんだろうけど、
∃f∈{id, s, s・s (・は合成), s・s・s,...} b=f(0)
とすればいいような気がしないでもない。
しかし {id, s, s・s, s・s・s,...} って集合の定義の仕方はいいのかな?
集合論なんかの議論(順序数のとか)でもこういうような定義の仕方してるから、
いいような気もするんだけど。

34 :23:04/02/27 16:15
>>33
そういう定義の仕方だと置換公理使ってない?
もしそうなら循環論法になる予感。

35 :132人目の素数さん:04/02/27 17:34
>>32 >>33
こういう論法って、カントール・ベルンシュタインの定理とかでも使ってて、
すごく怪しげで前からひっかかってたんだけど。

G_n = {<0,a_0>,<1,a_1>,<2,a_2>,...,<n-1,a_(n-1)>} として、
論理式 P(G_n,a) が
  ∀n∈N ∃!a P(G_n,a)
を満たすとき、
  ∀n∈N ∃!a (f(n)=a ∧ P(G_n,a))
を満たす集合としての関数 f(n) がただひとつ存在するってのはいいみたい。
つまり、再帰的に定義された関数は、レッキとした集合ということらしい。
証明は数学的帰納法。

置換公理使ってるかどうかは分からん。
っていうか数学的帰納法自体が、公理的集合論でどう正当化されてるのかが、
いまひとつ分かってない。

36 :35:04/02/27 17:45
証明は、数学的帰納法じゃなくて、ωまでの超限帰納法だった。

37 :25, 27:04/02/27 18:16
>>34
言われてみると、そんな気もしてきた。

うーん、じゃあ 0'''...' など持ち出さず、
直接 ∀a ∀b ∃c a+b=c を証明しよう。
a が与えられているとする。
b=0 のとき a+b=a なので ∃c a+b=c は成り立つ。
a+b'=(a+b)' なので b に対してある c が存在し a+b=c となるなら、
c' が存在し b' に対し a+b'=c' となる。
帰納法の公理により ∀a ∀b ∃c a+b=c となる。
これでいいっすよね?

しっかし、ペアノの公理系では
0'''...' と表されない元をどうやって除いてるのかなぁ?

>>35
へー。でも、この場合だとやっぱりなんか N が出てくると
循環論法っぽい気がするのだけど、漏れが分かってないせいかな…。

38 :23:04/02/27 20:16
ZFCからN、Z、Q、R、C
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1074200704/

参考なるかもしれないスレ。13、35前半、48あたり。

39 :23:04/02/27 20:29
>>37
いいのかなあ。
+が定義されてることを証明したいんだから、
a+b=cが成り立つ成り立たない以前の問題じゃないかと思うんだけど。

40 :132人目の素数さん:04/03/01 01:29
>>しっかし、ペアノの公理系では
>>0'''...' と表されない元をどうやって除いてるのかなぁ?

最後の数学的帰納法の公理が同時に一応最小性条項にもなっている。
論理式P(n)として自然数に対してしか成立しないような性質を表す論理式を
持ってくればいい。そんな論理式が存在するかどうかは疑問だけど、例えば
informalには、P(n)に「nは0'''...' と表される」を代入すればいい。
というか実際は除けてないし、いくら有限個の公理を付け加えても
除けないんだけどね。少なくとも一階述語論理上のPAじゃ。

41 :132人目の素数さん:04/03/01 01:37
「一意的に存在する」というのはc1≠c2が証明できるような
二つの数c1,c2に対してa+b=c1とa+b=c2が同時に証明されることはない、
ということでいい?だったらもしそうであったら等号の性質から
c1=c2とc1≠c2がともに示されて矛盾しちゃうから、
PAの公理-掛け算の再帰的定義(今のところ使わないので)の無矛盾性を
証明したら良い。


42 :25, 27:04/03/02 02:57
>>39
> a+b=cが成り立つ成り立たない以前の問題じゃないかと思うんだけど。

a+b=c でなく ∃c a+b=c なんですが。

>>40
> というか実際は除けてないし、いくら有限個の公理を付け加えても
> 除けないんだけどね。少なくとも一階述語論理上のPAじゃ。

マジっすか! そりゃビックリ。

>>41
いいような気はします…。
しかし、なんで掛け算なんすか?

43 :132人目の素数さん:04/03/02 14:04
>>40
完全性定理と不完全性定理を勉強すれば分かるようになるよ。
PAの超準モデルの理論を勉強すればもっと分かる。
完全性定理くらい知っておいても損しないよ。多分証明を読んだら
げんなりするだろうが。

44 :132人目の素数さん:04/03/02 14:23
失礼。>>40>>42の間違い。
なに自分にレスしてんだ漏れ_| ̄|○……

45 :23:04/03/02 21:13
Zermeloの公理系から+を定義する話のつもりでレスしてたんだけど、
実はその辺で食い違いがあった?
>>40-41はそれとは違う話だよね。

>>42
ちょっといいたいことがわからない。
今証明したいことは↓こういうことだと思ってたんだけど。
∃f:N×N→N (∀a, b∈N (f(a, 0)=a ∧ f(a, b')=f(a, b)' ) )

46 :40:04/03/03 13:37
PAの話だと思ってたので、なんかwell-definednessとか
訳の分からんこといってるなぁ、とか思いながらレスしてた。
スレをちゃんと読んでなかったね。

まぁ漏れはZFCは全ての数学の基礎である的主張には
断固として反対なので。数学をやるのに必ずしもそのような
強い理論は必要ない。ZFCの上でほぼ全ての数学が展開できる
という事実があると安心して数学が出来るのは確かだけど。

47 :25, 27:04/03/03 20:47
>>43
そういうものなのかぁ。勉強します。
他にもやりたいこといっぱいあって大変なんですが…。

>>45
>>30-32あたりの延長で、存在を言えばいいと思ってたんだけど、
確かに自分のやり方だと
> ∃f:N×N→N (∀a, b∈N (f(a, 0)=a ∧ f(a, b')=f(a, b)' ) )
ってのが明確にはなってない気がしてきた。

そこでこの場合には>>35のような話になるのかな(←今になって気付いた)。

> G_n = {<0,a_0>,<1,a_1>,<2,a_2>,...,<n-1,a_(n-1)>} として、
> 論理式 P(G_n,a) が
>   ∀n∈N ∃!a P(G_n,a)
でも↑の証明をすると言ってもいろいろ引っ掛かる点が…。
>>41で書かれてることもいいのかわかんないし…。

というわけで、漏れは
> +の定義からやると面倒だね
> 足し算が定義できれば証明自体はたいしたことないけど
に同意するより無いや(w

分かってた気がしてたんだが、何も分かって無かった(今もだけど)みたいだな…。

48 :132人目の素数さん:04/03/07 13:24
545

49 :132人目の素数さん:04/04/02 09:11
226

50 :132人目の素数さん:04/04/25 18:15
843

51 :132人目の素数さん:04/05/05 08:15
886

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