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★★バナッハ・タルスキのパラドクス★★

1 :132人目の素数さん:04/04/09 17:38
意味がわかんない

2 :132人目の素数さん:04/04/09 17:49
岩波のに
そんな題名の本があったろ
それ嫁

3 :132人目の素数さん:04/04/09 17:49
意味がわかんない

4 :132人目の素数さん:04/04/09 19:25
単発質問スレは(ry

5 :(・人ζもみもみ ◆Momi/T3ouE :04/04/09 20:01
駄スレ保守

6 :132人目の素数さん:04/04/09 20:03
このスレの主旨が分からない

7 :132人目の素数さん:04/04/09 20:43
ttp://suuri.sci.ibaraki.ac.jp/~yamagami/btp/btp.html


8 :132人目の素数さん:04/04/09 23:46
うんこ


9 :132人目の素数さん:04/04/12 19:00
1つの(3次元の)球体は,適当に分割して組み合わせることによって,元のものと同じ球体を2つ作ることができる.


10 :132人目の素数さん:04/04/13 01:18
選択公理を認めると、>>9のような奇妙な結果が出てくる、それだけ。

11 :132人目の素数さん:04/04/13 17:17
>>10は思考停止した猿

12 :132人目の素数さん:04/04/13 17:41
2つしかつくれないの?

13 :132人目の素数さん:04/04/13 17:48
2つつくれれば、有限個ならいくらでもつくれる
可算個はどうなの?

14 :132人目の素数さん:04/04/13 17:51
”有限個ならいくらでも”
人はそれを加算個と呼ぶ。

15 :132人目の素数さん:04/04/13 17:51
可算だった。間違えた。

16 :132人目の素数さん:04/04/13 17:55
俺バカだからわかんないから
簡単に教えて

17 :132人目の素数さん:04/04/13 18:05
>>http://bookweb2.kinokuniya.co.jp/guest/cgi-bin/wshosea.cgi?W-ISBN=4000065491

18 :132人目の素数さん:04/04/13 18:12
>>14
なこたぁない。有限はどこまでいっても有限。ある集合族の任意個の
有限和がやはりその集合族に属していてもσ-加法的とは言わない。

19 :132人目の素数さん:04/04/13 20:34
>>11
このバナッハ・タルスキのパラドックスが存在することが、
数学において何か「重要な」ことを示している、とでも考えているのですかね。
確かに常識的に考えれば、このパラドックスの結果は非常に変な話だけど、
このパラドックスの存在が、数学において、決定的なまでに打撃を与えるようなもの
とも違うと思いますよ。だから、このパラドックスは、選択公理を認めたときに生じる
奇妙な現象のひとつ、以外の「何物」でもないんですよ。

20 :132人目の素数さん:04/04/13 21:11
>>19
それがさあ、選択公理より真に弱いハーン・バナッハの定理から
バナッハ・タルスキのパラドックスが導かれることが10年ぐらい
前に証明されちゃったのよ。ハーン・バナッハを使わずに関数解
析やるのはしんどいもんね。



21 :132人目の素数さん:04/04/13 21:31
>>20
バナッハ・タルスキのパラドックスって
矛盾を導くって意味のパラドックスじゃないよ
>>19のいう「奇妙な現象だけど、数学において、
決定的な打撃を与えるものでない」ってそういう
意味。君、わかってないでしょ。

22 :132人目の素数さん:04/04/13 21:49
バナッハ・タルスキの定理

23 :132人目の素数さん:04/04/14 05:04
バナッハ・タルスキのちんこ

24 :132人目の素数さん:04/04/14 14:18
>「奇妙な現象だけど、数学において、
>決定的な打撃を与えるものでない」
これを証明したほうがいいと思うんだが。

25 :132人目の素数さん:04/04/14 16:11
>>14
たとえば、有理数はいくら足しても有理数だが、
可算回足せば無理数になる場合があるだろ

26 :132人目の素数さん:04/04/14 16:18
可算に無限と有限があるって事。それだけ。

27 :132人目の素数さん:04/04/14 17:11
バナッハ・タルスキ
ってなんかおいしそうなケーキだよな。

28 :KingMathematician ◆5lHaaEvFNc :04/04/14 18:05
球の場合は変なことが起こるが、
円盤の場合は、分割して組みなおしても、絶対に面積は増えない。
これは、正格直交変換群が可換になるか否かが重要な鍵となるのだという話を聞いたことがある。

29 :132人目の素数さん:04/04/14 18:06
だから>>7なんだろう。読み始めてすぐやめたが、、、。

30 :132人目の素数さん:04/04/15 17:50
>>正格直交変換群が可換になるか否かが重要な鍵となるのだという話を聞いたことがある。
詳しく聞きたい

31 :132人目の素数さん:04/04/15 19:08
>>30
>>7のサイトの「逆説的群の例」がそれ。
三次元の回転群には生成元が二個の自由群と同型な部分群が
含まれる事を証明してるんだけど、
X軸を中心とした回転とZ軸を中心とした回転が
可換にならないという事がポイントになってる。
円盤の場合は回転軸が一つしかないから、
非可換な回転というのがあり得ないわけだね。

32 :天才うんこ:04/04/15 22:22
よぉわからんなぁ

33 :132人目の素数さん:04/04/15 22:35
>>32
簡単に言うと、2次元では
X度回転した後にY度回転する = (X+Y)度回転する。
が成り立つけど、3次元(以上)では成り立たないってこと。

個人的に
バナッハ・タルスキの本質は選択公理じゃなくてこの事実だと思う。

34 :132人目の素数さん:04/04/15 23:30
>>1つの(3次元の)球体は,適当に分割して組み合わせることによって,元のものと同じ球体を2つ作ることができる
はぁ?

35 :132人目の素数さん:04/04/16 01:55
分割して、組み合わせる過程で、測度が保存されないのですね?
体積とか測度とは、いったいどうなるのだろうか?

36 :132人目の素数さん:04/04/16 06:28
>>33
2 次元と3 次元の違いということはあるが、やはり選択公理で、合同変換
の軌道集合から代表元をとりだすところは本質的なんじゃないの?
ルべーグ可測でない集合のつくりかたも同じだから。
まあ、2 次元だとすべての部分集合に対して定義される有限加法的な測度が
選択公理を使って定義されるってことだから、それが本質的だってのも
変ではないが。

37 :132人目の素数さん:04/04/17 14:52
うまい測度(体積)の定義ひねり出すか
この定理成り立たなくなるのかな?
選択公理に依存しない測度って作れないのかな?

そういえば、バナッハ・タルスキより破壊力落ちるけど
ルベーグ測度は2次元(面積)ですでに反直感的なことが
いくらでも起こっちゃうんだよね。

38 :132人目の素数さん:04/04/17 20:57
>>37
詳細キボンヌ

39 :132人目の素数さん:04/04/19 01:45
回転と平行移動だけで元の集合が2倍3倍になるってトリックだけど
これって測度ってことを全く考慮していないことから生じる見かけ上の
パラドックスだよね。

40 :132人目の素数さん:04/04/20 00:19
>>38
長さN、幅0の線分を2次元空間内で半回転させて元の位置に戻すのに
必要な面積はいくらでも小さくできるらしい。(だし0にはならない)
やりかたはよくわからん。
普通に考えると中点を中心として回転 --> 必要面積 = π(N/2)^2。
これを縮めるのはかなり奇抜なことやってるんじゃないのかな。

>>39
測度を考慮してないんじゃなくて測度をうまく定義できない。

41 :132人目の素数さん:04/04/20 11:10
普通に思い付く方法でできる。


42 :132人目の素数さん:04/04/20 23:05
>>40
>長さN、幅0の線分を2次元空間内で半回転させて元の位置に戻すのに
>必要な面積はいくらでも小さくできるらしい。(だし0にはならない)
>やりかたはよくわからん。
>普通に考えると中点を中心として回転 --> 必要面積 = π(N/2)^2。
>これを縮めるのはかなり奇抜なことやってるんじゃないのかな。

これは普通にできる。
紙にも実際に書ける。

43 :132人目の素数さん:04/04/21 02:53
どうやんの?
曲げるとか?

44 :132人目の素数さん:04/04/21 08:01
>>43
ルーローの三角形を内側に折り曲げたような格好じゃないの?

45 :132人目の素数さん:04/04/21 19:43
それで>>40より小さくなるのか?
必要な面積ってのには
囲まれた内部は入れないの?

46 :132人目の素数さん:04/04/21 20:22
>>45
ルーローの三角形を内側に折り曲げたような形も円よりはいいし、
☆みたいな形だともっといい。
尖ってる数を増やすほど面積が減っていく。

線分の回転のさせ方は、尖ってる場所を行ったり来たり繰り返す。

47 :132人目の素数さん:04/04/23 22:01
『数学の基礎をめぐる論争』
シュプリンガー・フェアラーク東京 1999
に基礎論の専門家が解説書いてるから見れ。
(ちなみにTarskiは少々哲学よりの超有名ロジシャン)



48 :132人目の素数さん:04/04/23 22:16
>>20
選択公理ACが無いだけでも十分苦しいと思うけど……
実際大学教養レベルの微分積分も満足に展開できなくなる。

>>33
>>20が正しいことを言っているなら、ACは
バナッハ・タルスキの証明には強すぎることになる。
(もっとも、だからACはB-Tの定理よりももっと妙なことを
主張している、ということにもなるが)
ただ、ZFや、ACと矛盾する公理を付け加えた体系では
>>20が正しいとしたら、厳密にはACをハーン・バナッハの
定理に差し替えないとならないがともかく)多分証明できない
だろうから集合論的な独立命題の反直感性をあらわした定理と
いうことにはなると思う。

49 :132人目の素数さん:04/04/24 02:40
この原理を使って、金塊を2倍に増やしたり、核融合を起こしたり
できないのか?
出来ると言う見通しが経てば、低温核融合同様に
経済産業省あたりが興味を抱くと思うよ。

50 :KingMathematician ◆5lHaaEvFNc :04/04/24 06:58
Re:>>49 金塊が点集合で出来ていたら可能だろう。

51 :132人目の素数さん:04/04/24 12:09
>>49
元の球の分割方法が特殊なんだよ。
有限個(3個くらいだったかな)のハリネズミみたいな形に分割するんだけど、
針の数が無限。

金塊をこの方法で分割できればいくらでも増やせるよ。
がんばれ。

52 :132人目の素数さん:04/04/24 14:59
>>48
ACCがあればハーン=バナッハが成立するという話を読んだことが
あるけど、誰か知らない?そうだとすればZF+ACと矛盾するZF+AD
でバナッハ=タルスキが成立することになる。

53 :20:04/04/25 21:52
>>20のソース
Janusz Pawlikowski, The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox.,
Fundamenta Mathematicae Vol. 138, 1991, pp21-22.

関連するページ
http://www.math.uci.edu/sub2/Foreman/homepage/HB.pdf

54 :132人目の素数さん:04/05/05 12:30
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